프리메이슨 (사상) - 1. 기하학 : c) 가우스

c) 가우스

가우스는 2,000년만에 유클리드의 평행선 공리를 뒤집은 수학자입니다.
1792년 나폴레옹이 아끼는 천재소년 가우스는 휘어진 공간에 대해 생각했습니다.
이전에도 평행선 공리에 대한 의문을 품고 이를 증명하려는 시도는 있었으나

완성을 보지는 못하였습니다.
유클리드조차도 '기하학 원본'에서 28개의 정리를 증명하면서

평행선 공리는 한번도 사용하지 않았습니다.

카를 프리드리히 가우스는 뉴턴이 죽고 50년 뒤인 1777년

독일의 브라운슈바이크에서 태어났습니다.
가우스의 집안은 가난했지만 가우스는 어릴 때부터 수학적 천재성을 발휘하여

어려운 계산을 해내곤 했습니다.
가우스에 관한 유명한 일화는 그가 9살 때 선생님이 낸 1부터 100까지

더하는 덧셈 문제를 '1+100, 2+99' 같은 방식으로 101을 50번 더해 5050을 구해낸 것입니다.

가우스의 재능을 알아 본 선생님은 그를 수학 조교에게 소개했고,

가우스는 수학조교와 대등한 연구를 진행했습니다.
가우스는 12세부터 유클리드의 평행선 공리에 의문을 품고, 휘어진 공간에 대해 연구했습니다.
가우스의 재능을 알아 본 페르디난트 공작은 그를 후원했고,

가우스는 15세에 김나지움(고등학교)에 들어갔고,18세에 괴팅겐 대학교에 입학했습니다.

1816년 괴팅겐의 수리 천문학 담당교수로 일하던 가우스는 오늘날

쌍곡선 기하학(Hyperbolic Geometry)이라고 부르는 구조를 가지는

 비(非)유클리드 공간에 있는 삼각형의 부분들의 관계를 규정한 방정식을 완성했습니다.
쌍곡선 공간이란 임의의 직선에 대해서 주어진 외부점을 지나는 평행선이

하나만 있는 것이 아니라 다수가 있다는 가정을 집어 넣었을 때 생겨나는 공간입니다.

이 새로운 가정으로부터 나오는 귀결 중 하나는 삼각형 내각의 합이 항상 180° 보다

작다는 것인데, 이 작은 정도를 각 손실(Angular Defect)이라고 합니다.
큰 삼각형은 작은 삼각형보다 각 손실이 크므로, 작인 삼각형이

큰 삼각형보다 유클리드적입니다.
쌍곡선 공간에서는 유클리드적 형태에 근접할 수는 있지만,

유클리드적 형태에 도달할 수는 없습니다.

이러한 발상의 전환을 이루기 위해선 우리가 어릴 적부터 궁금히 여기던

질문을 던져 볼 필요가 있습니다.
우주 공간에 끝이 있습니까?
끝이 있다면 그 다음은 뭐냐는 모순에 빠지고, 끝이 없다면 어떻게

공간(Space)이 무한대로 확장될 수 있냐는 모순에 빠집니다.

정답은 우주 공간은 끝이 있습니다.
우주의 크기는 약 200억 광년으로 빛의 속도로 200억년을 가야 하는 크기이고,

가장 가장자리의 마지막 별이 있는 자리가 우주의 끝입니다.
그리고 그 뒤의 공간은 아무 의미가 없습니다.

왜냐하면 물질이 없기 때문입니다.
여러분 머리속에 멋진 주택을 상상해 보십시오.
그 집은 공간을 가지고 있습니까?
답은 아무 물질이 없기 때문에 공간을 가지고 있지 않습니다.

물질이 있는 곳에 공간이 있고, 공간이 있으면 반드시 물질이 있습니다.
이와 같이 물질과 공간은 뗄레야 뗄 수 없는 관계를 가지고 있고,

만약 우주선을 타고 우주 바깥으로 나가면 거기까지가 공간입니다.

 

쌍곡선 공간(비 유클리드 공간)을 간략화시키면

유한한 크기를 가진 2차원 평면원으로 대체됩니다.

쌍곡선 공간에서 직선은 원의 바깥선과 수직으로 만나는 임의의 원호입니다.
위 그림의 상부 원은 쌍곡선 공간으로 직선은 원의 경계면에서 수직으로 만나고,

선 외부에 있으면서 한 점을 지나는 평행선은 여러 개 있을 수 있습니다.
그림 하부는 유클리드 공간으로 평행선 공리에 맞게 되어 있습니다.

미분기하학은 휘어진 평면에 대한 이론으로, 데카르트가 설정한

좌표설정 방법으로 평면을 기술하고,  미분학을 이용하여 평면을 분석합니다.
미분기하학은 비행기나 자동차 디자인에 이용될 뿐만 아니라

표면 자체가 공간으로 간주됩니다.
예를들어 지구 표면도 공간으로 생각될 수 있습니다.

가우스가 이룬 진보는 주어진 표면의 곡률(Curvature)을 더 큰 공간을 의지하지 않고,

그 표면 자체에만 의존해서 탐구할 수 있다는 생각입니다.
공간이 휘어 있으면서도, 더 큰 차원의 공간 안에서 어떤 모양이 되도록

휘어 있는 것이 아니라는 생각은
아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 필수적으로 요구된다는 것이 밝혀집니다.

같은 위도 상에 있는 뉴욕에서 마드리드로 가는 최단 경로는 위도선을 따라서

곧장 동쪽으로 향하는 경로일까요?
아닙니다. 최단 경로는 위 그림과 같이 원호 모양으로 돌아가는 것입니다.
볼링 공을 굴려도 이러한 최단 경로를 따라 가고, 황금 물떼새나 도요새 같은

철새도 천재적으로 최단 경로로 이동합니다.

지구 위의 임의의 두 점 사이의 최단거리는 대원(Great Circle)을 따라가는 곡선입니다.
대원은 지구 표면에 그릴 수 있는 가장 큰 원으로 원의 중심이

지구의 중심과 일치하는 원입니다.
대원은 유클리드의 공리 속에서 직선의 역할을 하고, 경도선과 적도선도 대원입니다.

가우스의 제자 리만은 구면에 적합한 비 유클리드적인 공간,

즉 위와 같은 타원공간(Elliptic Space)을 발견하였습니다.